公理的集合論

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公理的集合論(こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory)とはいくつかの公理からできている集合を扱うための理論である。この論理は数学全ての基礎となっている。しかし、数学者ではない人にとっては数学者がどれだけ異常な人種なのかを知るためのいい例である。常人にはとても理解できない記号で書かれている。

解説[編集]

公理的集合論にはいくつかの種類があり、その中で最も使われるのはZFC公理系というものである。そのため、この理論の公理を解説する。まず、集合はのようなものである。なので、以下の解説で集合は箱に置き換える。ただし、箱の中には箱が入っていることもあるし、何も入っていないこともあるし、無限の箱が入っていることもある。公理はいつでも正しいとされているが、中身が理解不能なので怪しいものである。

公理の説明[編集]

これらはほんの一部であることに注意しよう。この項には数式が大量に使われている。ごく一部の人はめまいと吐き気がする可能性があるので十分に注意するように。

外延性の公理
  • この式の意味は「任意の箱Aと任意の箱Bにおいて「任意の箱xにおいて「xがAに入っている事とxがBに入っている事は同じことである。」が正しいならば、AとBは等しい。」が成り立つ。」である。とてもなく長く、数学者の思考がどれだけ面倒くさいのか知ることができる。しかしも、これは「Aの中身とBの中身が同じであるならば、AとBは等しい。」と簡単に表すことができる。それにもかかわらず、こんな訳が分からなくて、日本語に訳しても難解になってしまう記号を平然と使っているのである。
空集合の公理
  • この式の意味は「ある箱Aと任意の箱xにおいて「xはAに入っていない。」が成り立つ。」である。上よりはましであるが、これまた長い。さらに、なんとこの式は「空の箱が存在する。」と表すことができる。こっちの方がシンプルで良いのに数学者はわざわざこんな複雑な言葉で表すのである。しかしも、その内容は当たり前の事であり、わざわざ言うまでもないことである。

異常な点[編集]

ここまで公理の一部分を解説したが、この論理に挑戦した人によりさらなる異常さの証拠になる物があるということが分かっている。

その一
集合には個数という概念はなく、入っていないか入っているかという情報しか含まれていない。ここが現実の箱と大きく異なるところである。これは集合を波かっこで表し、中身をセミコロンで区切るとしたとき、{x,x} = {x}となるという異常な式で表される。これはウィキペディアにも書いてある。
その二
公理的集合論の中には数なんてものはない。さらにその他の物もなく、ただ集合があるのみである。しかし、この論理は数学の基礎になると言われている。数学の基礎ということはもちろん数などの概念を取り扱わないといけないわけで、集合だけで大丈夫なのかという疑問がある。数学者たちはこれに対して「数は集合で作れる。」と答えている。その方法には「デデキント切断」「ペアノの公理」など怪しげな名前を持ったやり方があるらしいが、この言葉が本当なのかどうかは数学者になってみないと分からないだろう。
その三
単語を乱用している。この論理ではフォン・ノイマン宇宙やグロタンディーク宇宙などの怪しげな言葉が使われている。数学に宇宙という物が現れるなんて常識では考えられない。「宇宙」は我々が知っている意味なのだろうか?いや、違う。ウィキペディアでの解説を見てみよう。「数学において、宇宙(うちゅう、Universe)とは議論領域のことである。」と書かれている。ウィキペディアにしては珍しく単刀直入に記述されているが、このことからフォン・ノイマン宇宙は本来はフォン・ノイマン議論領域と呼ぶべきである事が分かる。その方が意味も分かりやすいにもかかわらず、宇宙という本来は意味が違う単語を使用している。ここから明らかに公理的集合論を学ぶ新米数学者を妨害するために分かりにくい単語を使用したということが読み取れる。

余談[編集]

ちなみにこの記事の筆者はこの記事を書くためにこれを調べ始めたことにより、いつの間にかに論理学にはまってしまい、気が付いた時には公理的集合論の記号や公理を理解できるようになってしまった。本当に気を付けてほしい。本当だから!

関連項目[編集]


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本項は第33回執筆コンテストに出品されました。